Questa lezione fa parte delle dispense che sto scrivendo per il corso di ottica per il biennio del liceo scientifico. In particolare sono da definirsi come bozza e ringrazio i lettori per eventuali segnalazioni. è suggerita una visualizzazione su schermi HD orizzontali (da cellulare consiglio l’abilitazione della rotazione automatica).
Lezione 1: introduzione all’Ottica Geometrica
Lezione 3: La rifrazione (voi siete qui)
Lezione di approfondimento: i colori del cosmo
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che la luce si propaga, in un mezzo, in linea retta. Questo è il cardine dell’Ottica Geometrica. Questo “un mezzo” magari ci è sembrato superfluo ad un primo approccio del fenomeno, ma ricordatevi la definizione con attenzione.
Abbiamo anche capito che se la luce viene riflessa c’è una relazione molto semplice tra l’angolo di incidenza e quello di riflessione. Da ricordarsi che l’angolo di incidenza arancione è quello che si forma col cammino ottico e la normale (la perpendicolare) al piano. Analogamente si ottiene la definizione di angolo riflesso.
Ora ci vogliamo porre un’ulteriore domanda: Come Funziona quando la luce passa da un mezzo ad un altro? Ad esempio quando la luce attraversa prima l’aria e poi l’acqua.
I nostri sensi ci dicono che la propagazione non avviene più in linea retta: guardate questo tocco di vetro: cosa vedete? La luce entra e il percorso appare piegato dalla materia. Alla fine sembra che esca parallelamente al raggio incidente. Possiamo pensare ad una cannuccia in un bicchiere: ci siamo accorti tutti che c’è qualcosa che non va in linea retta!
Quello che vogliamo capire è come sta cosa funziona, e magari il perché! Questa ricerca è il fare Fisica.
Per cominciare a parlare di un fenomeno dobbiamo dare un nome alle cose, altrimenti ci ritroviamo a non avere un linguaggio per interagire. Chiameremo i l’angolo di incidenza e rf l’angolo rifratto (ovvero l’angolo formato dal raggio che attraversa il secondo mezzo)
Uno fra i primi che indagò questo fenomeno quantitativamente (ovvero mettendosi lì e facendo misure e prendendo dati) fu Tolomeo circa 2100 anni fa!
L’esperimento è molto semplice ma astuto: c’è una bacinella, devo mettermi in una posizione in cui non vedo tutto il fondo. Devo ricordarmi molto bene questa posizione perché è da questo punto in cui dovrò fare tutte le misurazioni successive. Tolomeo mette sul fondo della bacinella una monetina in una posizione cieca dalla mia postazione (io da lì non la vedo). Non riesco a vederla per pochi cm. Tolomeo poi riempe la bacinella con l’acqua e scopriamo che riusciamo a vedere la monetina! Questo perché la luce non prosegue in linea retta tra i due mezzi! Dopo che abbiamo ben compreso questo proviamo a trovare un modo in cui si può variare l’angolo di incidenza e quello di rifrazione. Ad esempio possiamo spostare la monetina. Tolomeo si è messo lì e ha trovato questa tabella che possiamo riportare ancora dopo 2100 anni. (Non è detto che tutti le coppie di angoli siano stati presi sperimentalmente bensì alcuni sembrano essere interpolati a partire da altri essendo che tutti vengono fittati da una parabola, prova a fare il grafico!)
Quello che ci vogliamo chiedere è come siano legati questi due angoli: se capiamo come sono legati quantitativamente possiamo fare previsioni e sfruttare il fenomeno a nostro vantaggio.
Non è banale trovare una relazione che leghi l’angolo di incidenza e quello di rifrazione, ci hanno provato per almeno un millennio se non di più! L’ipotesi più semplice era ipotizzare che il rapporto fra gli angoli fosse un numero costante, ma come si vede da diversi singoli rapporti la costante varia da 1,25 a 1,6…che razza di costante è un numero che varia? L’ipotesi di una relazione così semplice quindi fallisce. Tolomeo stesso dice di usare una formula del tipo: rf=a*i+b*i^2 (una polinomiale come facciamo noi fisici quando non abbiamo ancora capito a fondo il problema e vogliamo trovare semplicemente una formuletta che descrive il fenomeno), con a e b due numeri costanti.
Ci sono voluti ben 1700 anni prima che nel mondo occidentale venne trovata la soluzione (nel mondo arabo sembra ci abbiano messo 700 anni in meno).
Un signore di nome Snell trova la soluzione come seno(i)/seno(rf)= un numero costante per una coppia di mezzi.
Il seno è una delle funzione trigonometriche che incontrerete in maniera significativa all’interno del vostro percorso di studi. a questo livello ci interessa sapere solo che è una funzione che lega ad un angolo un numero. (I più grandi, che già conoscono seno e coseno si accorgeranno che la prima banale formula del rapporto tra angoli non è altro che lo sviluppo per piccoli angoli…quindi un’approssimazione)
Questo numero costante rispetto ai mezzi cosa vuol dire?
Vuol dire che se un raggio di luce passa dall’aria all’acqua questa costante vale 1.33; dall’aria al vetro circa 1.5, dall’acqua all’aria 1/1.33 (da mettere il numerino).
Attraverso molte misure si può trovare come i raggi luminosi si propaghino all’interno di diversi mezzi.
Una storia molto interessante riguarda Cleomede, un antico greco vissuto intorno al 100 a.C. in cui nel suo libro “Sul moto circolare dei corpi celesti” racconta di aver visto un’eclissi di luna prima del tramonto. Geometricamente questo sarebbe impossibile perché è proprio la terra a fare ombra alla luna: il sole deve trovarsi dalla parte opposta della luna per vedersi l’eclissi! (non fatevi ingannare dalle dimensioni e distanze assurde del disegnino). Come è possibile allora vedere il sole vicino all’orizzonte e la luna in eclissi allo stesso tempo? Beh Cleomede fa un ragionamento straordinario, così straordinario che ancora molti ragazzi di millenni dopo non riescono ad afferrare subito: esiste qualcosa intorno alla terra, e che non è presente tra gli astri, che fa piegare i raggi luminosi e ci fa vedere la Luna e il Sole più in alto sull’orizzonte di quanto realmente siano. Cleomede era infatti a conoscenza, come voi, degli esperimenti di Tolomeo. In questo modo scopre l’Atmosfera. Pensate al salto logico che c’è tra capire l’esperimento della bacinella con il piegamento dei raggi di luce che ci permette di vedere la monetina, e l’ipotesi che esiste un mezzo intorno alla terra, diverso da quello tra gli astri, che ci fa vedere un’eclissi quando ancora il sole non è tramontato! Cleomede ha intuito l’analogia in cui la terra è la moneta, l’acqua l’atmosfera e l’aria il mezzo interstellare. Ha trovato un intero sistema solare in una ciotola e ha scoperto l’atmosfera! Credo che sia uno dei più bei passaggi logici della Fisica.
Ricapitolando, le scorse lezioni abbiamo trovato che Snell è riuscito a trovare una relazione tra l’angolo di incidenza e l’angolo di rifrazione. In realtà non fu il primo ad identificare tale relazione: già alla corte di Baghdad nel 984 lo “scienziato” persiano Ibn Sahl usa la legge per derivare la forma delle lenti che servono per bruciare cose (e che quindi focheggiano). (Rashed, Roshdi (1990). “A pioneer in anaclastics: Ibn Sahl on burning mirrors and lenses”. Isis. 81 (3): 464–491. doi:10.1086/355456).
600 anni dopo, in occidente, si riscopre la legge e Snell e Descartes la ritrovano nello stesso periodo indipendentemente (1621). È comodo riscrivere la formula del rapporto dei seni = una costante dipendente dalla coppia dei mezzi nella forma in cui si trova su tutti i libri di testo:
n1sen(i)=n2sen(rf)
dove n1 e n2 sono rispettivamente delle costanti legate ai singoli mezzi (il significato fisico lo scopriremo assieme verso al fine di questa lezione). Quindi per l’acqua sarà un numero per l’aria un altro etc. Queste costanti sono numeri sempre maggiori di 1 e si possono trovare sul libro o su internet per tantissimi materiali. Qui ve ne riporto un paio. è interessante notare che l’aria fredda ha un n più grande dell’aria calda.
Queste costanti portano il nome di “di indice di rifrazione” dell’acqua del vetro dell’aria e così via.
In questo modo abbiamo trovato un modo per descrivere il comportamento della luce che attraversa diversi mezzi. Questo è un grande traguardo e un punto di arrivo se vogliamo capire come usare queste proprietà della luce.
Solitamente i libri di fisica partono dalla legge di Snell e da qui costruiscono oggetti utilissimi (che vedremo la prossima volta). Provo a scegliere un percorso un po’ diverso, forse più complesso ma molto intrigante e sicuramente soddisfacente. Non presenterò tutti i passaggi matematici ma nonostante questo cercherò di farvi cogliere la meraviglia e la straordinarietà delle intuizioni che ci portano a vedere la realtà sotto un nuovo punto di vista.
L’obiettivo della Fisica non è solo trovare una descrizione della realtà bensì cercare il motivo di ciò che vediamo. Ed eccoci qui con la domanda topica: PERCHÉ la luce sceglie questa strada strana (non semplice e lineare come una retta) e dipende da qualche proprietà oscura dei mezzi, rappresentata da dei numerini detti indici di rifrazione? La risposta non è per niente facile ma è di una straordinarietà semplicità. L’idea per spiegare il perché viene da un signore chiamato Fermat. In particolare la motivazione è nota sotto il nome di principio di minimo tempo, o principio di Fermat.
La luce, tra tutti i possibili percorsi, sceglie quello più breve.
Seguendo questa intuizione (ante litteram) già Erone da Alessandria per la riflessione, nel primo secolo avanti Cristo, aveva trovato la risposta. (aggiungere il disegnino e commento al disegno).
Ragioniamo ora sul fenomeno della rifrazione: può essere che la luce vada più veloce in un mezzo rispetto che in un altro. Non riesco a pensare ad un motivo tale per cui è assurda questa ipotesi. Supponiamo ad esempio che la velocità della luce in acqua sia più bassa della velocità della luce in aria di un certo fattore chiamato (non a caso) n. Quindi v luce acqua=v aria / n.
Ora il nostro problema diventa: dobbiamo trovare la strada più veloce per andare da A a B. Pensiamola in maniera più concreta: siamo il bagnino in una spiaggia e dobbiamo salvare una persona che sta affogando. Che strada sceglierò?
Si può fare una costruzione geometrica semplice da cui, con un po’ di trigonometria una approssimazione e un po’ di fisica elementare si può dimostrare la formula di Snell come presentata nella lezione precedente. Per la dimostrazione vi rimando a: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_26.html
Da questa straordinaria intuizione che il percorso della luce è proprio quello più veloce e che si può descrivere con la legge di Snell si possono fare diversi ragionamenti.
Il primo è il principio di reciprocità: se uno va da A a B nel minor tempo possibile allora se si trova in B e deve andare in A deve rifare lo stesso percorso.
Il secondo ci porta a dare una spiegazione al fenomeno, già citato, in cui noi vediamo il sole tramontare quando in realtà è già tramontato! L’atmosfera terrestre è molto densa vicino alla terra e rarefatta lontano. La luce viaggia più lentamente nell’aria densa rispetto a quello che fa nel vuoto. Quindi la luce che proviene dal sole, invece di muoversi lungo una linea retta e attraversare per il lungo tutta la zona densa dell’atmosfera (la parte più bassa, in cui va più lenta) preferisce attraversare la zona meno densa per metterci meno tempo.
Con lo stesso principio si possono spiegare i miraggi in cui, si immaginano i viandanti delle carovane nel deserto che vedono specchi d’acqua che in realtà non esistono! Come funziona? Beh quello che i poveri assolati viaggiatori vedono non è altro che il riflesso del cielo sulla sabbia: un raggio di luce del cielo si trova a navigare nell’aria del deserto. La sabbia rovente scalda molto l’aria e sposta l’aria più fredda un po’ più in alto. L’aria calda è più rarefatta e rallenta la luce meno dell’aria fredda. Per questo motivo la luce preferisce passare vicino al terreno e poi tornare un po’ su. In questo modo l’effetto è che la luce dipinge la sabbia con un po’ di cielo. E tutto questo per un principio: la luce ha fretta! 😉
Un esempio molto utile e pratico nasce da questo ragionamento. Pensiamo di avere una sorgente luminosa in un punto P e immaginiamo che vogliamo creare uno strumento che mi prenda un po’ di questi raggi e me li focalizzi in un punto. Come possiamo fare? Ho bisogno che tutti i raggi che partano in un istante arrivano dopo un determinato tempo in un punto P’ TUTTI INSIEME!. Se non arrivassero tutti contemporaneamente mi troverei ad aver focalizzato cose diverse che non mi interessano. Quindi devo immaginarmi un oggetto che mi porta tutti i raggi, nello stesso istante, in un punto P’. Ovviamente i raggi luminosi che escono dalla sorgente lungo la retta PP’ ci metteranno meno tempo di un raggio che è un po’ storto ad esempio che passa per la retta PQ. Allora devo trovare un trucco per rallentare di più i raggi lungo PP’ e meno quelli che devono fare più strada. Se mi state seguendo fin qui avete capito dove vi voglio portare a parare: abbiamo reinventato le lenti! Nella zona centrale, dove ho bisogno di rallentare maggiormente la luce ci metterò più materiale (perché la luce va più lenta nel vetro) e dove è già ritardata perché fa una strada più lunga ci metterò meno vetro.
Voglio analizzare un ultimo concetto: gli indici di rifrazione. Necessariamente devono contenere qualcosa riguardo la velocità della luce nel determinato mezzo. Infatti si può dimostrare facilmente (ma non lo faccio per non spaventarvi troppo 🙂 ) la fisica di questi fantomatici numeretti apparentemente casuale è legata alla formula
n1=velocità luce nel vuoto / velocità luce nel mezzo
Essendo la velocità della luce nel vuoto una costante in ogni parte dell’universo (e non a caso si chiama c) e la massima velocità nell’universo è uguale ad un numero finito molto vicino a 3×10^8 m/s (valore da sapere a memoria) tutti gli indici di rifrazione saranno più grandi di uno. (numero grande/numero un po’ più piccolo è sempre maggiore di 1 -fate qualche prova con la calcolatrice se siete ancora alle prime armi!-).
Se voi siete arrivati fin qui vi potreste quindi rendere conto che è possibile misurare, attraverso delle “semplici” misure degli angoli, la velocità della luce nei diversi mezzi!
Pensateci un attimo: è una cosa che trovo davvero straordinaria! Da una misura di spazio ho trovato una misura di velocità! La comprensione profonda di un aspetto di un fenomeno ci ha permesso di cogliere delle proprietà fondamentali della luce. Da una domanda siamo riusciti, sulle spalle dei giganti dei nostri antenati, a cogliere maggiori sfumature di quello che ci sta intorno con un approccio nuovo alla realtà partendo da piccole cose.
Fare fisica è come riuscire a vedere nuovi colori intorno a noi, che ci sono sempre stati, ma che non eravamo capaci di vedere. La velocità della luce nei diversi mezzi è manifestazione delle proprietà dell’universo. Solo perché ci siamo messi in gioco e abbiamo iniziato a comprenderla siamo riusciti, ad esempio, a costruire l’elettronica o a fare previsioni sull’evaporazione dei buchi neri o riusciamo a curare le persone tramite la radioterapia.
Indice altre lezioni:
Lezione 1: introduzione all’Ottica Geometrica
Lezione 3: La rifrazione (voi siete qui)
Lezione di approfondimento: i colori del cosmo
